Розрахунок сум ставок як мірило успіху на ринку

Розрахунок сум ставок як мірило успіху на ринку

Кілька місяців тому два тіпстери, Андрес Барж-Жиль і Альфредо Гарсія-Ієрно опублікували результати свого дослідження на предмет того, як беттор повинен розраховувати суми своїх ставок, якщо прогнози ймовірності виграшу не визначені. Звичайно, чи варто взагалі битися об заклад з букмекерами при таких умовах, вирішувати вам, однак така ситуація виникає досить часто, і треба бути до неї готовим.

Для розрахунку сум ставок багато гравців використовують такий популярний метод, як критерій Келлі. Але за умови, що точні ймовірності неможливо оцінити, беттори відходять від цього методу, вдаючись до інших способів управління своїм банкроллом. Спробуємо виокремити основні з них, а також розглянемо їх з точки зору перспективності.

Метод питомих збитків

Отже, перший з них – метод питомих збитків, званий також методом рівних ставок. При цьому гравець ставить одну і ту ж суму в усіх випадках, незалежно від коефіцієнтів. Чим вищий коефіцієнт, тим більший прибуток в разі виграшу, але менша ймовірність перемоги.

В цілому можна розглядати ставки за цим методом як план з використанням критерію Келлі, де очікуваний дохід (ОД) прямо пропорційний коефіцієнту. Розмір ставки за критерієм Келлі, як відомо, розраховується за формулою:

ОД / коефіцієнт – 1

Метод питомих збитків передбачає, що це співвідношення залишається незмінним. Наприклад, ОД становить 10% (0,2), а коефіцієнт – 2,00. Розмір ставки буде дорівнювати 0,1. Якщо підвищити коефіцієнт до 4,00, то ОД повинен збільшитися до 30% (0,3), щоб розмір ставки залишився на рівні 0,1. Коефіцієнт 101,00 передбачає, що ОД дорівнює 10, або 1000%, що трохи нереалістично. Це означає, що фактичний коефіцієнт становить лише 9,18. Зрозуміло, букмекерські контори таких помилок не вчинять.

Якщо коефіцієнт прямує до нескінченності, то реальний коефіцієнт буде прямувати до максимального значення «1/ставка», в даному випадку 10. Серйозний недолік методу питомих збитків полягає в тому, що при ставках на малоймовірні результати ризик дуже високий. Для прихильників критерію Келлі це було б логічно, тільки якби ОД дійсно збільшувався пропорційно коефіцієнту, але це твердження неправильне.

Метод питомого прибутку

Інша поширена стратегія управління фінансами – метод питомого прибутку. При ньому беттор прагне отримати однаковий прибуток незалежно від коефіцієнта. Якщо цільовий виграш, або прибуток, становить 1000 гривень, то при коефіцієнті 2,00 необхідно поставити 1000 гривень, а при коефіцієнті 5,00 – 250 гривень. Розмір ставок пропорційно зворотній величині коефіцієнта – 1. З точки зору критерію Келлі, метод питомого прибутку передбачає, що між ОД і критерієм Келлі немає кореляції, і ОД залишається однаковим незалежно від коефіцієнта.

Але в цьому методі навіть на перший погляд присутня деяка невідповідність. Чи дійсно перевага гравця буде однаковою при коефіцієнтах 1,11 і 111,00? Дисперсія показує, що це припущення нереалістичне. Справді, якби ОД при коефіцієнті 111,00 становив 20% (0,2), то такий же ОД при коефіцієнті 1,11 означав би, що фактичний коефіцієнт менший за 1, а це абсолютно безглуздо. Імовірність будь-якого результату не може бути більше 100%, і це очевидно.

Метод питомого впливу

Автори згаданого дослідження запропонували свій альтернативний план розрахунку ставок – метод питомого впливу, припускаючи, що цей план краще поєднується з методом розрахунку на основі критерію Келлі. У цьому методі різниця в банкроллі між виграшем і програшем залишається незмінною незалежно від котирувань ставок.

Але тут розмір ставки обернено пропорційний коефіцієнту, на відміну від методу питомого прибутку, де він пропорційно зворотній величині коефіцієнта – 1. Таким чином, якщо сума ставки становить 1000 гривень при коефіцієнті 2,00, то при коефіцієнті 5,00 вона становитиме 40о гривень . У будь-якому разі різниця між виграшем і програшем становить 2000 гривень (+ 1000 / -1000 гривень в першому випадку і + 1600 / -400 гривень у другому).

В даному випадку ОД пропорційний значенню «коефіцієнт -1/коефіцієнт». Це означає, що ОД збільшується при підвищенні коефіцієнта, але його зростання сповільнюється ближче до межі, тому що це співвідношення швидко прямує до 1. Так, якщо ОД = 0,1 при коефіцієнті 2,00, то межа ОД становить 0,2. Хоча це не такий радикальний сценарій, як у методі питомого прибутку, де ОД залишається незмінним, в ньому все одно недооцінюється можливість більш високого ОД при великих котируваннях.

Величина прибутковості успішних тіпстерів, які спеціалізуються на скачках, більш ніж удвічі перевищує дохід гравців на ринках азіатського гандикапу або ставок на різницю в рахунку. Однак це ще не означає, що ці гравці більш вправні або фартові.

На наведеному нижче Графіку 1 показано, як ОД змінюється щодо коефіцієнта в трьох методах розрахунку ставок за умови, що ОД = 3% при коефіцієнті 2,00 в кожному випадку:

Дослідники проаналізували базу даних ставок Pyckio і прийшли до висновку, що співвідношення між ОД і коефіцієнтом в методі питомого впливу найбільш точно відповідає спостережуваним і прогнозованим (на основі цін при закритті) доходів тіпстерів, що виглядає не дуже переконливо. Ми з’ясували, що розрахунок ставок за методом питомого впливу приносить ОД, який максимум удвічі перевищує ОД при коефіцієнті 2,00, але чи існують більш вигідні варіанти?

Метод t-розподілу

t-розподіл, як і нормальний розподіл (замість якого він використовується, коли відоме стандартне відхилення тільки для вибірки, а не для всієї сукупності), допомагає визначити ймовірність тієї чи іншої вибірки за умови, що відоме середнє значення сукупності.

В основі цього методу лежить t-статистика або t-показник, з якого можна отримувати ймовірності. При розрахунку за методом питомих збитків, якщо коефіцієнти ваших ставок не сильно варіюються, цей показник можна приблизно розрахувати за такою формулою:

тут n – це кількість ставок, o – середній коефіцієнт, а r – повернення інвестицій або прибуток + 1.

Цей метод являє собою міру кількості стандартних відхилень прибутку від очікуваного середнього значення (0), якщо ставки розміщує недосвідчений гравець при чесних коефіцієнтах. Наприклад, якщо t-показник дорівнює 2, то при відсутності досвіду ваш прибуток міг би бути більшим тільки в 2,5% випадків. Таким чином, t-показник являє собою міру ймовірності. Чим вищий t-показник, тим менш імовірний випадок, який розглядається. Спробуємо визначити з його допомогою, наскільки ймовірні ті чи інші значення ОД (для недосвідченого гравця) в залежності від коефіцієнтів.

Асиметрія прибутку

Припустимо, що ви розміщуєте ставку на команду, ймовірність перемоги якої становить 80%, з чесним коефіцієнтом 1,25. А тепер припустимо, що букмекер помилково вважає, ніби ймовірність перемоги становить 75%. Він проводить акцію, пропонуючи ставки без маржі. Його коефіцієнт становить 1,333. Відповідно, ОД становить 6,667% (1,333 / 1,25 – 1 або 0,80 / 0,75 – 1).

Розглянемо і інший сценарій: фактична ймовірність дорівнює 20% (чесний коефіцієнт 5,00), але букмекер вважає, що вона дорівнює 15% (опублікований коефіцієнт 6,667). В цьому випадку ОД становить 33,33% (6,667 / 5,00 – 1 або 0,20 / 0,15 – 1). Різниця між очікуваним вами відсотком виграшу і прогнозом букмекера залишається незмінним, але ОД збільшується в 5 разів. Схоже, з точки зору ОД, еквівалентні помилки мають більш серйозні наслідки при більш високих коефіцієнтах, але наскільки вони ймовірні?

Симетрія ймовірності

Спробуємо переробити наведену вище формулу t-показника, припустивши, що для всіх наших ставок діє один коефіцієнт, o. Нам відомо, що r = q / p, де p – це ймовірність, яка передбачається коефіцієнтом букмекера (тобто 1/o), а q – прогнозована ймовірність, тож можна винести таку формулу:

Припустимо, що n, кількість ставок, становить 100. При q = 0,8 і p = 0,75 виходить, що t = 1,25. Але і при q = 0,2 і p = 0,15 також вийде, що t = 1,25. За умови, що букмекер, а не наша модель, мав рацію, такий t-показник вказує, що ймовірність результату становить 10,7%.

При розміщенні більше 100 ставок ми прогнозуємо прибуток більше 6,667% при коефіцієнті 1,333, або більше 33,33% при коефіцієнті 6,667, в 10,7% випадків. Більш високий прибуток при великих коефіцієнтах так само ймовірний, як і менший прибуток при менших коефіцієнтах.

Спробуємо продемонструвати цю симетрію ймовірності за допомогою наведених нижче таблиць. Для наочності обрані екстремальні значення. Звичайно, жоден гравець не зможе отримати такі хороші, або, навпаки, погані результати в більшості випадків.

На Таблиці 1 показана асиметрія ОД для різних пар p і q. На Таблиці 2 показана симетрія t-показників. Для наочності показані абсолютні t-показники (без знаку «мінус» в негативних значеннях ОД, коли q <p). Однаково вірогідні не тільки пари p / q, рівні 0,3 / 0,7 і 0,7 / 0,3, але і 0,7 / 0,5 і 0,3 / 0,1, 0,8 / 0, 7 і 0,2 / 0,1.

Нова функція ОД-коефіцієнта

При заданих значеннях коефіцієнта і ОД існує ймовірність t (яка подвоюється при 4-кратному збільшенні кількості ставок). Можна і по-іншому сформулювати формулу t-показника, висловивши його через r. Виходить громіздке вираження другого порядку з ще більш громіздким рішенням:

Як бачите, наведена формула набагато складніша, ніж «коефіцієнт – 1 / коефіцієнт», але ми все одно спробуємо побудувати за нею графік, де ОД = 0,03, а коефіцієнт становить 2,00. Цей Графік 2 показаний нижче разом із графіками попередніх функцій ОД-коефіцієнта для методів питомих збитків, питомого прибутку і питомого впливу, вже розібраних нами вище:

Незважаючи на громіздкість цієї функції, вона більш логічна, враховуючи те, що прогнозований прибуток інтерпретується з точки зору статистичної ймовірності. При розрахунку ставок за методом питомого впливу ОД ніколи не може перевищувати 6%, якщо він становить 3% при коефіцієнті 2,00. Але з цією функцією він може рости нескінченно, хоча і не так нереалістично швидко, як в методі питомих збитків, але в рамках, прогнозованих статичною дисперсією. При коефіцієнті 10 він становить 9,4%, при коефіцієнті 50 – 23,3%, а при коефіцієнті 1000 – 150%.

Є і очевидний недолік цієї функції, заснований на t-показнику, і полягає в тому, що вона передбачає недосвідченість гравця. Вона просто висловлює ймовірність тих чи інших результатів при відсутності навичок. Але це неправильне тлумачення. Навіть для професійних гравців діють ті ж статистичні закони, пов’язані з дисперсією. Положення помаранчевої кривої зміниться, але її форма залишиться. На Графіку 3 нижче деякі можливі траєкторії в залежності від удачі або кваліфікації гравців, як би ви це не називали. Вихідна крива для гравця з ОД, яка дорівнює 3% при коефіцієнті 2,00, як і раніше позначається жовтим кольором:

Випробування нової функції

Спробуємо перевірити придатність цієї нової функції ОД-коефіцієнта. Проаналізувавши добірку даних про коефіцієнти на футбольні матчі європейських ліг за сезон 2012-2013 років, ми виявили понад 55 тисяч випадків, в яких спостерігалося прибуткове значення ОД (> 0). Середнє значення становило 2,20% (до речі, фактична ефективність методу питомих збитків становила 1,77% – цілком в рамках статичної похибки моделі) при середньому коефіцієнті 3,30. Використовуючи ці значення, ми можемо побудувати Графік 4 функції ОД-коефіцієнта за нашою формулою для коренів квадратного рівняння. Він позначений жовтим кольором нижче:

Якщо порівняти його з фактичними значеннями ОД в моделі, коли очікуваний шанс виграшу дорівнює 1% (вони представлені на схемі як коефіцієнти), а потім з графіком функції ОД-коефіцієнта, отриманим за методом питомого впливу, можна побачити, що функція ОД-коефіцієнта на основі t-показника явно набагато точніше прогнозує ОД.

Висновки

Хтось із читачів може запитати: навіщо використовувати функцію ОД-коефіцієнта для прогнозування ОД при різних коефіцієнтах, якщо метод колективної думки дозволяє зробити це для кожної ставки? Це дійсно вагомий аргумент, так що цю статтю здебільшого можна вважати теоретичною. Однак навіть точні моделі демонструють гносеологічну невизначеність від ставки до ставки. Більш того, випадкова невизначеність робить розрахунок фактичної ймовірності виграшу непридатною на практиці.

Завданням нашого експерименту, як і дослідження Барж-Жиля і Гарсії-Ієрно – продемонструвати, як можна приблизно розрахувати ОД, беручи до уваги кількісну невизначеність, якщо ваша модель прогнозування не дозволяє прогнозувати ймовірність виграшу в явному вигляді або ваш метод є радше якісним, тобто більше заснований на інтуїції, ніж на аналізі даних. Якщо вам відомі коефіцієнти, за допомогою цього методу ви можете приблизно розрахувати ОД. Знаючи ОД, ви можете вирахувати розмір ставки за критерієм Келлі, який використовує більшість бетторів.

Хоча метод з використанням t-показника може здатися заплутаним, його результати засновані на більш логічних висновках про співвідношення між ймовірністю виграшу, очікуваним доходом і ймовірністю результату, а значить, і варіюванні фактичного прибутку в залежності від коефіцієнтів. Здається, цей спосіб краще підійде прихильникам критерію Келлі, ніж метод питомого впливу, і в порівнянні з методами питомих збитків і питомого прибутку він якісно кращий.