Математические ставки. Неумолимый рок регрессии к среднему

Неумолимый рок регрессии к среднему

Давайте предположим, что в крупной средней школе провели два разных теста на определение способностей. Далее отбираем десятку лучших учеников из числа тех, кто лучше всех написал первый тест. Скорее всего, вы будете разочарованы результатами второго теста тех же самых 10 учеников. И напротив, если взять десятку отстающих по первому тесту и проверить то, как они написали второй, в среднем результаты второго теста будут лучше первого. Это и есть регрессия к среднему, и добросовестные школьные учителя могут подтвердить, что так оно и есть.

Даниел Канеман, анализирующий удивительные эксперименты в области поведенческой психологии, в книге «Thinking fast and slow» приводит занимательный случай из опыта израильских авиационных инструкторов. Они заметили, что пилот, которого похвалили за исключительно мягкое приземление, в следующий раз приземлится жестче. Обратное тоже верно: если пилота отчитали за исключительно жесткое приземление, в следующий раз он сядет мягче. Отсюда следовал ложный вывод: похвала, в отличие от строгого внушения, не действует.

На самом деле похвала, равно как и порицание со стороны инструктора, тут ни при чем. Все дело в регрессии к среднему. С пика дорога только вниз, а со дна ущелья — наверх. Так же, как и в случае с серией тестов — после провального результата следует подъем, а после ошеломительного успеха — спад. Так как поощрение сопровождалось худшими приземлениями, инструкторы видели причину именно в неверной вербальной установке. Соответственно возникала мнимая причинность между порицанием и более мягким приземлением пилота.

Если обобщить эти два примера, то выстраивается вот какая закономерность. Если средние А-оценки испытуемых отклоняются от общего среднего X на k единиц, тогда среднее от их Б-шкалы будет обычно отклоняться от общего среднего Y меньше, чем на k единиц. Эту закономерность обнаружил британский ученый Фрэнсис Гальтон — автор знаменитого эксперимента с определением веса бычьей туши, обнаруживший тем самым мудрость толпы. Вообще-то, Гальтон придерживался сомнительных, с точки зрения современной науки, взглядов, был сторонником евгеники и считал, что талант передается по наследству от родителей к детям.

Для того чтобы подтвердить свою гипотезу фактами, Гальтон приступил к измерениям. Однако талант не туша быка и не поддается измерению на весах. Не беда, у Фрэнсиса Гальтона был план В, и, согласно этому плану, он стал измерять рост людей, так как это вполне поддается линейному счету. Как известно, у высоких родителей и дети рождаются высокими. Гальтон тоже так полагал, но вот что он обнаружил, проведя большое количество замеров роста и подведя итоги.

График роста родителей (по горизонтали) и детей (по вертикали)

Тенденция к среднему проявляется в наследственности.
Каким бы парадоксальным это ни казалось на первый взгляд, но то, что рост взрослого потомства должен в общем быть более близким к среднему, чем рост родителей, — теоретически целесообразный факт, несомненно подтвержденный наблюдениями.

                                                                                                                                                                            Наследование в природе
— Френсис Гальтон

Дети далеко не всегда бывают такими же высокими, как и родители. Если рост отца 189 см., а матери 178 см., то сыновья могут зачастую быть ниже отца, а дочери — ниже матери. То же самое с низкорослыми родителями и детьми. На картинке черная линия показывает предполагаемую тенденцию до сбора и анализа данных, а красная, прерывистая, показывает наилучшее соответствие полученным данным. Дети действительно наследуют рост родителей, но с поправкой на отсечение крайних значений и гравитации к среднему.

Житейская мудрость гласит, что природа отдыхает на детях великих людей. Исключения бывают, но крайне редко. Можно вспомнить музыкальную династию Бахов, отца и сына писателей Дюма и ученых Капица. Эта житейская мудрость отражает лишь половину дела, ведь если речь идет о крайне обделенных способностями родителях, то природа на детях должна потрудиться.

Когда во время ЧМ Россия с Хорватией стали готовиться к серии одиннадцатиметровых ударов, я вздрогнул, подумав, что россиян накроет эта самая гравитация к среднему после блистательной отыгранной серии пенальти с командой Испании. В тот раз игроки и вратарь сыграли превосходно, на пике возможного, следовательно во второй раз ошибки должны были проявиться.

Неспособность понять регрессию к среднему может иметь неприятные последствия для игроков, но также и для тренеров, инструкторов, учителей и родителей. Не понимая природу случайных событий, мы злостно преувеличиваем важность и степень воздействия своих слов. Поощрения и порицания применяются там, где без всяких слов справляется регрессия к среднему.