Теорія ймовірностей і основні поняття теорії

Довгий час теорія ймовірностей не мала чіткого визначення, яке було розроблено тільки у 1929-му році. Виникнення теорії ймовірностей як науки відносять до середніх століть і перших спроб математичного аналізу азартних ігор (орлянка, кості, рулетка). Французькі математики XVII-го століття Блез Паскаль і П’єр Ферма, досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, відкрили перші імовірнісні закономірності, що виникають при киданні кубиків.

Теорія ймовірності виникла як наука з переконання, що в основі масових випадкових подій лежать певні закономірності. Теорія ймовірності вивчає дані закономірності.

Теорія ймовірностей займається вивченням подій, настання яких достовірно невідоме. Вона дозволяє судити про ступінь ймовірності настання одних подій в порівнянні з іншими.

Наприклад: визначити однозначно результат випадання «орла» або «решки» у результаті підкидання монети не можна, але при багаторазовому підкиданні випадає приблизно однакове число «орлів» і «решок», що означає, що ймовірність того, що випаде «орел» або «решка», дорівнює 50%.

Випробуванням у цьому випадку називається реалізація певного комплексу умов, тобто у даному випадку підкидання монети. Випробування може відтворюватися необмежену кількість разів. При цьому комплекс умов включає в себе випадкові чинники.

Результатом випробування є подія. Подія буває:

1. Достовірною (завжди відбувається у результаті випробування);

2. Неможливою (ніколи не відбувається);

3. Випадковою (може відбутися або не відбутися в результаті випробування).

Наприклад, при підкиданні монети неможлива подія – монета стане на ребро, випадкова подія – випадання «орла» або «решки». Конкретний результат випробування називається елементарною подією. В результаті випробування відбуваються тільки елементарні події. Сукупність усіх можливих, різних, конкретних результатів випробувань називається простором елементарних подій.

Основні поняття теорії

Імовірність – ступінь можливості того, що подія відбудеться. Коли підстави для того, щоб яка-небудь можлива подія сталася насправді, переважують протилежні підстави, то ця подія називають ймовірною, в іншому випадку – малоймовірною або неймовірною.

Випадкова величина – це величина, яка у результаті випробування може набути того чи іншого значення, причому невідомо заздалегідь, яке саме. Наприклад: число на пожежну станцію за добу, число попадання при 10-ти пострілах і. т.д.

Випадкові величини можна розділити на дві категорії.

1. Дискретною випадковою величиною називається така величина, яка у результаті випробування може набувати певних значень із певною ймовірністю, що утворює рахункову множину (елементи якого можуть бути занумеровані). Ця множина може бути як кінцевою, так і нескінченною. Наприклад, кількість пострілів до першого влучення в ціль є дискретною випадковою величиною, тому ця величина може набувати й нескінченну, хоча і рахункову кількість значень.

2. Безперервною випадковою величиною називається така величина, яка може набувати будь-які значення з деякого кінцевого або нескінченного проміжку. Очевидно, що число можливих значень неперервної випадкової величини нескінченне.

Імовірнісний простір – поняття, введене А. Н. Колмогоровим у 30-х роках XX-го століття для формалізації поняття ймовірності, яке дало початок бурхливому розвитку теорії ймовірностей як строгої математичної дисципліни.

Імовірнісний простір – це трійка   (іноді обрамляють кутовими дужками: , де

•   – це довільна множина, елементи якого називаються елементарними подіями, наслідками або точками;
•  – сигма-алгебра підмножин,  званих (випадковими) подіями;
•   – імовірнісна міра або ймовірність, тобто сигма-адитивна кінцева міра, така що.

Теорема Муавра-Лапласа – одна з граничних теорем теорії ймовірностей, встановлена ​​Лапласом у 1812-му році. Вона стверджує, що число успіхів при багаторазовому повторенні одного і того ж випадкового експерименту з двома можливими наслідками приблизно має нормальний розподіл. Вона дозволяє знайти наближене значення ймовірності.

Якщо при кожному з незалежних випробувань ймовірність появи деякого випадкового події  дорівнює  () і  – число випробувань, в яких  фактично настає, то ймовірність справедливості нерівності близька (при великих ) до значення інтеграла Лапласа.

Функція розподілу в теорії ймовірностей – функція, що характеризує розподіл випадкової величини або випадкового вектора; ймовірність того, що випадкова величина X набуде значення, менше або рівне х, де х – довільне дійсне число. При дотриманні відомих умов повністю визначає випадкову величину.

Математичне очікування – середнє значення випадкової величини (це розподіл ймовірностей випадкової величини, розглядається в теорії ймовірностей). В англомовній літературі позначається через , в російській — . У статистиці часто використовують позначення .

Нехай задано ймовірнісний простір  і певна на ньому випадкова величина . Тобто, за визначенням, – вимірна функція. Тоді, якщо існує інтеграл Лебега від  по простору  , то він називається математичним очікуванням, або середнім значенням і позначається .

Дисперсія випадкової величини – міра розкидання даної випадкової величини, тобто її відхилення від математичного очікування. Позначається  у російській літературі і  в зарубіжній. У статистиці часто вживається позначення або . Квадратний корінь з дисперсії називається середньоквадратичним відхиленням, стандартним відхиленням або стандартним розкидом.

Нехай  – випадкова величина, визначена на деякому імовірнісному просторі. Тоді

де символ  позначає математичне очікування.

У теорії ймовірностей дві випадкових події називаються незалежними, якщо настання одного з них не змінює ймовірність настання іншого. Аналогічно, дві випадкові величини називають залежними, якщо значення однієї з них впливає на ймовірність значень іншої.

Умовна ймовірність – ймовірність однієї події за умови, що інша подія вже відбулося.

Нехай – фіксований імовірнісний простір. Нехай дві випадкових події, причому . Тоді умовною ймовірністю  події за умови події  називається.

Закон великих чисел – це група теорем, що встановлюють стійкість середніх результатів великої кількості випадкових явищ і пояснюють причину цієї стійкості.

Найпростіша форма закону великих чисел – це теорема Бернуллі, яка стверджує, що якщо ймовірність події однакова у всіх випробуваннях, то зі збільшенням числа випробувань частота події прагне до ймовірності події і перестає бути випадковою.

Закон великих чисел в теорії ймовірностей стверджує, що середнє арифметичне кінцевої вибірки з фіксованого розподілу близьке до теоретичного середнього математичному очікування цього розподілу. Залежно від виду збіжності, розрізняють слабкий закон великих чисел, коли має місце збіжність за ймовірністю, і посилений закон великих чисел, коли має місце збіжність майже напевно.

Загальний зміст закону великих чисел – спільна дія великого числа однакових і незалежних випадкових факторів призводить до результату, в межах не залежному від випадку.

На цій властивості засновані методи оцінки ймовірності на основі аналізу кінцевої вибірки. Наочним прикладом є прогноз результатів виборів на основі опитування вибірки виборців.

Центральні граничні теореми – клас теорем в теорії ймовірностей, які стверджують, що сума досить великої кількості слабо залежних випадкових величин, що мають приблизно однакові масштаби (жодне з доданків не домінує, не вносить в суму визначального внеску), має розподіл, близький до нормального.

Так як багато випадкових величин у додатках формуються під впливом кількох слабо залежних випадкових факторів, їх розподіл вважають нормальним. При цьому повинна дотримуватися умова, що жоден з факторів не є домінуючим. Центральні граничні теореми в цих випадках обґрунтовують застосування нормального розподілу.