Гравці на ставках часто занадто багато думають, скільки вони ставлять, на що саме вони роблять ставки і скільки вони можуть виграти (іноді їх пріоритети можуть бути розставлені в іншому порядку). Розмір виграшу по одній ставці, звичайно, має велике значення, проте гравцям потрібно також враховувати прибутковість ставок, включених до вибірки більших розмірів. Як можна змоделювати діапазон можливих значень дохідності ставок? Розповідає експерт БК Pinnacle Джозеф Бухдаль.
Скільки можна виграти на ставках. Моделюємо діапазон прибутковості парі
Зовсім недавно я розглядав показники прибутковості одного відомого прогнозиста, який спеціалізується на скачках. Прибуток від обігу 1015, рекомендованих цією людиною, «ставок дня» однакового розміру (прогнози за цими ставками вважалися найбільш надійними) склав -4,3%.
«Вибірка такого розміру цілком підходить для перевірки загальної прибутковості прогнозиста», – вирішив я, особливо не замислюючись над цим. 1000 прогнозів – це досить багато, чи не так?
При цьому хіба у нас немає підстав вважати, що надійність прогнозів згадано тіпстера відносно скачок, ймовірно, далеко не найвища?
Один з моїх підписників у Twitter написав мені: «Не те, щоб я не згоден з вашою точкою зору, але … чи достатньо тисячі ставок для того, щоб зробити точний висновок?».
Після хвилинного роздуми я дійшов до висновку, що, ймовірно, ні. Ось що я відповів підписнику.
«Ви справді праві. Середній коефіцієнт для виграшних «ставок дня» – 2,62. Давайте припустимо, що коефіцієнти інших двох третин ставок (вони не повідомляються), що опинилися програшними, були трохи вищими (саме тому ці ставки програли). Таким чином, середній коефіцієнт складе приблизно 3,0.
Очікуване середньоквадратичне відхилення величини доходу для вибірки з 1015 ставок буде приблизно 0,045 (4,5%). Припустимо, що довгострокове математичне очікування для цього прогнозиста становить 4,5%. Тоді отримана величина близька до очікуваного значення. Замість цього припустимо, що математичне очікування тіпстера було беззбитковим. У цьому випадку спостерігається одне середньоквадратичне відхилення від очікуваного значення. В цьому немає нічого хорошого, але така ситуація цілком можлива.
Тепер давайте припустимо, що показник прогнозиста повинен скласти +4,5%. Це співвідноситься приблизно з двома средньоквадратичними відхиленнями від поточного значення або ж приблизними значенням ймовірності 2,5%. Каппер може продовжувати стверджувати, що його довгострокове математичне очікування становило +4,5% і що йому просто не пощастило. Але, оскільки очікувана прибутковість як і раніше повинна бути вищою, стверджувати, що продемонстрований на прикладі 1 015 ставок результат всього лише наслідок невезіння, стає все складніше».
Як була отримана цифра 4,5% для очікуваного середнього відхилення величини доходу? Мета цієї статті – дати відповідь на це питання, а також показати, як це знання може допомогти під час порівняння фактичної ефективності ставок з будь-якими існуючими очікуваннями.
У ставок бінарний характер: вони або виграють, або програють. Для вибірки ставок в кількості n, де кожна з них має «справжню» ймовірність виграшу p, середньоквадратичне відхилення можливих відсткових показників виграшів визначається за такою формулою.
Наприклад, якщо у нас є 100 ставок і ймовірність виграшу кожної 50%, можна очікувати, що розмір виграшу складе 50%, а середньоквадратичне відхилення – 5%. Тобто близько двох третин усіх можливих результатів будуть в межах від 45 до 55%, а близько 95% – в діапазоні між 40 і 60%.
Забудьте про виграші і програші. Задумайтесь про фактичний прибуток. Нам просто потрібно трохи підкоригувати формулу, включивши в неї коефіцієнти ставок. Тепер, коли для кожної ставки вказано коефіцієнт o, середньоквадратичне відхилення величин потенційного доходу (або прибутку від обігу) можна визначити за формулою.
Припустимо, що «справжня» ймовірність виграшу дорівнює 60% для пропонованих букмекером коефіцієнтів ставок evens. Це дуже вигідна пропозиція. Середньоквадратичне відхилення величин потенційного доходу від 100 ставок склало б 9,798%, що можна порівняти з величиною очікуваного доходу 20%.
Для «чистих» коефіцієнтів o = 1 / p. Отже наведену вище формулу можна спростити ще.
Хоча цей особливий випадок дійсно застосовується лише тоді, коли математичне очікування гравця беззбиткове (дохід = 0%), різниця між o та 1 / p зазвичай невелика як для недосвідчених гравців, в яких виграші менші через букмекерську маржу, так і для досвідчених гравців, яким вдається подолати маржу, так що, можливо, для спрощення має сенс використовувати саме цей метод. Це показано на малюнку нижче.
При використанні спрощеної формули в наведеному прикладі середньоквадратичне відхилення завжди дорівнює 10% незалежно від значення p. Але це значення досить близьке до фактичного середньоквадратичного відхилення для діапазону ймовірностей виграшу від 40 до 60%. Пам’ятайте, жоден гравець, принаймні той, хто робить ставки в Pinnacle, не повинен робити ставки evens при відсотковому показнику виграшу 40% і нижче.
У більшості випадків розмір маржі БК Pinnacle варіюється від 1 до 3%. Імовірність виграшу ставки з коефіцієнтом 2,0 і маржею 2% становить приблизно 49% (середньоквадратичне відхилення величини доходу від 100 ставок становить 9,998%.) Аналогічно відсоткові показники виграшів кращих гравців на ставках в діапазоні від 55 до 56% (середньоквадратичне відхилення величини доходу від 100 ставок склало б 9,928%).
Давайте повернемось до нашого прикладу, згаданого на початку цього матеріалу, і подумаємо, які висновки можна зробити, маючи інформацію про середньоквадратичне відхилення величини доходу.
Отже, якщо уявити, що середній коефіцієнт (o) для 1015 ставок (n) однакового розміру 3,0, а «справжня» ймовірність виграшу, маючи на увазі математичне очікування -4,3%, становить 32% (p), то застосування наведеної вище формули дозволить нам дізнатися, що середньоквадратичне відхилення величини доходу дорівнюватиме 4,39% (або 4,44%, якщо використовувати спрощену формулу).
Розподіл величин потенційного доходу від ставок на підставі математичного очікування наведено нижче. Ви можете з легкістю побудувати такий розподіл в Excel, просто скориставшись функцією NORMDIST. В теорії ці розподіли біноміальні й, отже, дискретні (якщо вибірка охоплює понад 30 ставок), нормальний (безперервний) розподіл – це дуже надійний показник, який можна застосовувати для приблизної оцінки і який зручніший у використанні при побудові таких діаграм в Excel.
Значення в області нижче кривої синього кольору в сумі складають 100%. У цьому сценарії ми припустили, що величина фактичного доходу відповідає математичному очікуванню. Але, оскільки коефіцієнти досить високі, відхилення можливих результатів досить широке, з чого випливає, що настання навіть найбільш ймовірного результату (-4,3%) можливе менш ніж в 10% випадків.
Чи був правий той підписник у Twitter, який засумнівався в моєму первісному спостереженні? В принципі так. Хоча прогнози з вивченого зведення результатів каппера не можна вважати прикладом найнадійніших рекомендацій, на підставі цього неможливо зробити висновок про те, що діяльність цього прогнозиста характеризується негативним математичним очікуванням. У цьому сценарії прибутковість фіксується в 13,65% випадків, що знаходиться в межах статистичної прийнятності. Так що цілком можливо, що математичне очікування цього тіпстера краще показника -4,3% і йому просто не пощастило.
Припустимо, що математичне очікування прогнозиста беззбиткове. Тепер розподіл буде виглядати наступним чином: величини потенційного доходу менші фактичних значень в 16,13% випадків – це значення занадто високе для того, щоб виключити ймовірність впливу фактора невезіння.
А якщо математичне очікування +4,3%? Тоді розподіл буде виглядати наступним чином. В 2,76% випадків показники ефективності як і раніше нижче фактичних значень. Цифра невелика, але чи можемо ми повністю виключити невезіння? Це трапиться більш ніж з одним з 40 капперів.
Нарешті, давайте повіримо обіцянкам каппера, що його прогнози за ставками на скачки справді найточніші і що в більшості випадків ці прогнози можуть забезпечити 10% прибуток від обігу. Далі представлено відповідний розподіл величин потенційного доходу.
Прибутку немає майже в 2% випадків, а показник менший зафіксованого значення 4,3% спостерігається рідше, ніж в одному випадку з 1000. Схоже, ми можемо дорікнути капперу в зайвій самовпевненості.
Володіючи інформацією про середню величину коефіцієнта, розмір доходу і кількості ставок, ми можемо розрахувати очікуване середньоквадратичне відхилення величин потенційного доходу і побудувати практично будь-який розподіл. При цьому фактичний результат можна протиставити тому, що ми могли, на нашу думку, досягти.
Якщо існує лише невелика ймовірність отримання доходу (і якщо покладатися на власну думку про те, яким повинен бути результат, наприклад менший 1% або дорвінювати 0,1%), тоді вам варто розглянути можливість проведення оцінки математичних очікувань.
З’ясуємо, як змінюється розподіл величин потенційного доходу від ставок для різних коефіцієнтів. Нижче наведені приклади для сценаріїв з беззбитковим математичним очікуванням.
Як бачите, чим вищий коефіцієнти ставок, тим більша дисперсія результатів, це не дивно. Звичайно, для цих сценаріїв дисперсія (або квадрат середньоквадратичного відхилення) прямо пропорційна значенню, отриманому в результаті віднімання одиниці з величини коефіцієнту.
Якщо ви робите ставки з високими коефіцієнтами, ймовірність того, що вам вдасться перевершити очікувані показники результативності, буде вища в основному завдяки впливу фактора везіння («хвости» розподілів ширші, якщо доходи вищі). Звичайно, правильне і зворотне твердження.
Подивимося, як кількість ставок впливає на наш розподіл. З формули випливає, що середньоквадратичне відхилення величини доходу обернено пропорційне квадратному кореню з числа ставок. Значить, відхилення значень для беззбиткового математичного очікування з 100 ставок однакового розміру (10%) буде в десять разів більшим відповідного відхилення для зведення, що включає 10 000 ставок (1%). Приклади наведені нижче.
Звуження і збільшення висоти розподілів на тлі збільшення кількості ставок – це, по суті, візуальна інтерпретація закону великих чисел. Чим більше вибірка, тим вища ймовірність того, що отриманий результат буде мірою істинного математичного очікування.
Наостанок задумаємося над тим, скільки часу знадобиться недосвідченому гравцеві в БК Pinnacle з математичним очікуванням -2,5%, щоб зрозуміти, що йому не вистачає навичок. Інформація про очікуване середньоквадратичне відхилення величини доходу допоможе відповісти на це питання.
У таблиці нижче наведені значення ймовірності того, що після серії ставок з різними коефіцієнтами гравець на ставках буде грати в плюс.
У букмекерських компаніях з невеликою маржею при певній долі везіння ви зможете багато чого досягти, особливо якщо будете робити ставки з високими коефіцієнтами. Пам’ятайте, що, якщо удача відвернеться від вас, високі коефіцієнти приведуть вас до банкрутства набагато швидше.
Нижче наведена аналогічна таблиця, але на цей раз для ймовірностей програшу в розмірі 10%. Такий результат – наслідок більшої дисперсії (і ширшого діапазону розподілів величин потенційного доходу).
Можливо, у вас виникло питання, наскільки результативна формула в разі оцінки середньоквадратичного відхилення величини доходу від ставок, зроблених з різними коефіцієнтами. До цих пір ми виходили з того, що коефіцієнти всіх ставок однакові. При цьому більшість гравців, зрозуміло, роблять ставки з різними коефіцієнтами. Чи можна просто взяти середнє значення коефіцієнтів ставок і отримати достовірне середньоквадратичне відхилення величини доходу?
Повернемося до нашого прогнозистів. Я самостійно заповнив відсутні значення коефіцієнтів (для неопублікованих прогнозів за програшними ставками) і вивів середнє значення, яке дорівнює 3,0. Моє фактичне відхилення коефіцієнтів було значним: від 1,73 до 15,0.
Використовуючи генератор випадкових чисел в Excel для відтворення результатів з математичним очікуванням кожної ставки -4,3%, я зробив імітаційне моделювання за методом Монте-Карло (100 тисяч симуляцій) і отримав 100 000 різних варіантів величини доходу для вибірки з 1015 ставок.
Середня величина доходу склала -4,297%, а середньоквадратичне відхилення розрахованих величин дорівнювало 4,373%. У допустимих межах похибки це фактично збігається зі значенням 4,389%, отриманим за формулою.
Проблема ефективності в ставках. Як її вирішити. Частина перша
Проблема ефективності в ставках. Як її вирішити. Частина друга