Стратегія ставок однакового розміру і стратегія пропорційних ставок. Який метод забезпечує максимальний очікуваний прибуток? Які відмінності в розподілі показників прибутковості двох розглянутих стратегій? Пропонуємо аналіз експерта БК Pinnacle.
Однаковий розмір ставки VS пропорційні ставки. Яка стратегія краще?
Стратегія ставок однакового розміру передбачає, що всі ставки, незалежно від коефіцієнтів, однакового розміру. Деякі гравці вважають, що стратегія ставок однакового розміру позбавлена гнучкості, адже вона не враховує ймовірність виграшу ставки або ж ризик її програшу.
Навіщо, наприклад, ризикувати рівними грошовими сумами, роблячи ставки на події, ймовірність настання яких оцінюється в половину, чверть або одну восьму шансу? Чи не краще варіювати суми ставок, щоб вони були пропорційні ризикам?
У короткостроковій перспективі такий підхід має свої плюси, але в довгостроковому періоді кількість переваг зменшується. Ставки з високими коефіцієнтами означають, що ви більшою мірою залежите від статистичної дисперсії або удачі: як везіння, так і невдачі. Якщо вам часто щастить, то і ваш прибуток може бути більшим. На жаль, часте невезіння неминуче тягне за собою більше збитків.
Але чим більше ставок, тим менша ця дисперсія. Вплив везіння і невезіння врівноважується. Згадаймо просту формулу для оцінки середньоквадратичного відхилення (σ) в показниках можливих доходів (%) за ставками однакового розміру (n), зробленим зі справедливими коефіцієнтами (o).
Якщо збільшити кількість ставок в чотири рази, статистичне розкидання ймовірностей зміниться вдвічі. Наслідок ставок з високими коефіцієнтами – збільшення різниці ймовірностей, але вона все одно буде зменшуватися зі збільшенням кількості ставок. Наприклад, для 400 ставок з коефіцієнтом 5,0 розкидання ймовірностей буде таким же, що і для 100 ставок з коефіцієнтом 2,0.
Якщо поглянути на ситуацію в контексті кожної конкретної ставки, розміщення ставок однакового розміру, але з більш високим коефіцієнтом, буде пов’язане з великим ризиком збитків. У довгостроковій перспективі зменшення ставок не спричинить за собою зниження потенційного прибутку (за умови, що гравець робить ставки з позитивним математичним очікуванням).
Стратегія ставок однакового розміру незалежно від коефіцієнтів має на увазі, що ставки, зроблені з високими коефіцієнтами, будуть приносити менший прибуток через низьку частоти виграшу таких ставок. Звідси виникає питання, чи варто взагалі робити ставки з високими коефіцієнтами?
Метод пропорційних ставок передбачає визначення розміру ставки в пропорційній залежності від розміру банкроллу: вони будуть збільшуватися або зменшуватися в міру того, як буде збільшуватися або зменшуватися банк після кожної ставки. Прихильники методу пропорційних ставок, заснованого на застосуванні критерію Келлі, стверджують, що це найефективніший метод збільшення банку, хоча досягти цієї мети можна лише при досить рішучому підході до питання управління ризиками.
Привабливість такого підходу в тому, що хороший гравець, який використовує цей метод, має можливість збільшувати свій банк швидше, ніж якби він просто робив ставки однакового розміру. Варто нагадати про те, що, принаймні теоретично, роблячи пропорційні ставки, ви ніколи не збанкрутуєте, оскільки навіть якщо кожна зі зроблених ставок виявиться програшною, ви втратите тільки частина банкроллу, а не всі гроші.
Але саме взаємозв’язок послідовних програшів і виграшів дозволяє зробити деякі досить цікаві спостереження під час порівняння ефективності цієї стратегії і стратегії ставок однакового розміру.
Вивчимо серію з 1000 ставок з коефіцієнтом 2,0 і 5% математичним очікуванням отримання $105 за кожною ставкою в $100. На наведеній нижче гістограммі представлене розкидання показників прибутку для ставок однакового розміру (5 одиниць) і пропорційних ставок (5%), отримане в ході проведення 10 000 ітерацій імітаційного моделювання за методом Монте-Карло.
Для ставок однакового розміру, як і слід було очікувати, розкидання показників можливого прибутку має вигляд типової кривої нормального розподілу дзвоноподібної форми. Середній (і медіанний) прибуток становить 250 одиниць. Це очікуване значення для обороту 5000 одиниць при наявності 5% переваги.
У випадку з пропорційними ставками форма кривої розподілу помітно відрізняється і сильно перекошена в бік більш високого прибутку. Але це, ймовірно, не так уже й дивно, оскільки при належному везінні розміри банків і суми ставок можуть збільшуватися в геометричній прогресії.
Максимальний показник прибутку дорівнює 7000 одиниць, при цьому розмір максимального прибутку, зафіксований в ході 10 000 ітерацій моделювання, склав майже 95 000 одиниць. Цей перекіс робить істотний вплив на розмір середнього прибутку. У той час як медіанний прибуток як і раніше дорівнює 250 одиниць (тобто приблизно половина ставок виявилася менш прибутковою, а друга половина – більш прибутковою), середнє значення, зважене за декількома найбільшим показниками прибутку, становить 1120 од.
Подивіться уважно на ліву частину гістограми. Ви побачите, що для пропорційних ставок показники нижче очікуваних значень спостерігаються частіше, ніж для ставок однакового розміру. Майже 21% таких ставок фактично виявилися збитковими, при цьому щодо ставок однакового розміру подібне можна сказати тільки про 5% ставок.
Замість того, щоб порівнювати прибуток, давайте порівняємо відсоткові показники прибутковості двох методів розміщення ставок. Очевидно, що сумарний обіг ставок для історії пропорційних ставок, що характеризуються високою прибутковістю, буде набагато більшим.
Приклад. Розмір прибутку від пропорційних ставок склав 2462 одиниці (прибуток від ставок однакового розміру – 440 одиниць), але для отримання прибутку такого розміру потрібно 33 699 одиниць, в той час як для ставок однакового розміру знадобилося 5000 одиниць.
Фактично в цьому прикладі значення прибутку за обігом (або прибутківстю) для пропорційних ставок (6,85%) виявилося меншим, аніж для ставок однакового розміру (8,8%). Чи типово це? На наведеному далі графіку представлено розподіл всіх показників прибутковості, отриманих в результаті моделювання за методом Монте-Карло.
Середній показник дохідності за ставками однакового розміру дорівнює 5%. Порівняйте цю цифру із середнім значенням, зафіксованим для пропорційних ставок, яке менше цього показника майже вдвічі: 2,51%. На графіку можна бачити, скільки ще пропорційних ставок виявилося збитковими в порівнянні зі ставками однакового розміру.
Можна змінити параметри моделювання, змінивши, наприклад, використовувані гравцем коефіцієнти ставок і значення математичного очікування (EV).
Для цієї статті ми вибрали 40 пар різних коефіцієнтів ставок і значень EV. Щоб ще більше обмежити кількість можливих комбінацій параметрів, враховували тільки ті пропорційні ставки, розмір яких співвідносився з розрахунками за методом повного критерію Келлі із застосуванням формули «EV / коефіцієнт ставки – 1», де значення EV представлено у відсотках.
Наприклад, для сценарію, який вже обговорювалося раніше, де EV = 5%, а коефіцієнт = 2,0, відсоток Келлі можна обчислити таким чином: 5% / 2,0 – 1 = 5%. Нижче наведена інформація про розмір пропорційних ставок для всіх 40 комбінацій. Для сценаріїв зі ставками однакового розміру використовувалася величина відсотка. Таким чином, для комбінації, де EV = 3%, а коефіцієнт = 3,0, що має на увазі, що розмір ставок дорівнює 1,5%, розмір ставок однакового розміру склав 1,5 од.
Розміри пропорційних ставок для різних комбінацій EV і коефіцієнтів ставок
У наступних двох таблицях порівняємо середні показники прибутковості, отримані в ході моделювання за методом Монте-Карло. З урахуванням деякого впливу випадкових факторів (подальші спроби обмежити цей вплив могли б негативно позначитися на обчислювальних можливостях) можна зазначити, що для ставок однакового розміру показники прибутковості відповідають очікуваним значенням.
З іншого боку, показники прибутковості пропорційних ставок, як правило, вдвічі менше цих значень. Це стало несподіваним і, можливо, нелогічним висновком, але в подальшому ви зрозумієте, що призвело до цього.
Середні показники прибутковості після 1000 ставок однакового розміру
Середні показники прибутковості після 1000 пропорційних ставок
Навіть професійні гравці з позитивним математичним очікуванням прибутку стикаються з ненульовою ймовірністю її відсутності. Звичайно, причина того, що зі збільшенням кількості ставок така ймовірність зменшується – дія закону великих чисел. Проте, ці ймовірності варто враховувати при вивченні розглянутих серій з 1000 ставок для розуміння елементів, що становлять основу стратегії ставок однакового розміру і стратегії пропорційних ставок.
В останніх двох таблицях представлені дані про ймовірність відсутності прибутку для кожної комбінації значення EV і коефіцієнту, отримані на підставі результатів 10 000 ітерацій імітаційного моделювання.
Якщо говорити про середню прибутковість, то тут, знову ж таки, є деякий залишковий вплив випадкових факторів, однак загальна картина ясна: незалежно від використовуваних коефіцієнтів або існуючого математичного очікування ймовірність відсутності прибутку від пропорційних ставок майже завжди більша, ніж у випадку зі ставками однакового розміру, і іноді величина різниці значна.
Імовірність відсутності прибутку після 1000 ставок однакового розміру
Імовірність відсутності прибутку після 1000 пропорційних ставок
Наприклад, для гравця, який робить ставки з коефіцієнтом приблизно 2,0 і має 3% переваги над букмекером, вірогідність понесення збитків після 1000 ставок величиною три одиниці оцінюється як 1 до 6. Якщо замість цього такий гравець вирішить робити 3% -ві ставки, ймовірність настання збитковості для нього зросте і складе 1 до 3.
Чому виникає відчуття, що стратегія пропорційних ставок поступається стратегії ставок однакового розміру, принаймні з точки зору показників очікуваної прибутковості і перспектив забезпечити отримання прибутку? Для відновлення банку після понесених збитків потрібно більший приріст відсоткової частки грошових коштів.
Давайте розглянемо приклад ставок «один до одного». Програш за 5% ставкою призведе до зменшення банкроллу зі 100 до 95 одиниць. Для його відновлення потрібно отримати прибуток в розмірі 5,26% (5/95), але якщо слідувати стратегії пропорційних ставок, то сума наступної ставки повинна скласти 4,75 одиниці, а виграш за такою ставкою, розміщеної з коефіцієнтом 2,0, дозволить відновити обсяг коштів банкроллу до позначки 99,75. При цьому стратегія ставок однакового розміру гарантує повне відновлення банкроллу до 100 одиниць.
Проблема та ж, але навпаки. Коефіцієнт зменшення абсолютного капіталу після програшу ставки «один до одного» буде більшим, аніж коефіцієнт його збільшення після виграшу ставки. У цьому прикладі (незалежно від того, що було першим – виграш чи програш) підсумковий розмір банкроллу склав 99,75 одиниць, що менше первинного показника, хоча теоретично математичне очікування для даної пари ставок було 0%.
Якщо дивитися на ситуацію ширше, то, незалежно від коефіцієнтів, в разі програшу для відновлення банку потрібно більше часу, а в разі виграшу процес регресії займає менше часу.
Звичайно, якщо говорити тільки про гроші, то в абсолютному відношенні прибуток гравця з підтвердженим позитивним математичним очікуванням прибутку буде більшим, аніж прибуток його колеги, який робить ставки однакового розміру. У цьому, в кінцевому рахунку, і полягає суть стратегії розміщення пропорційних ставок.
Але результати проведеного дослідження – гарне нагадування про те, що, як і у випадку з будь-яким іншим аспектом світу азартних ігор, між ризиком і прибутком завжди можна знайти компроміс.
Якщо ви готові вживати рішучих заходів для прискорення процесу нарощування прибутку, ви повинні усвідомлювати, що в більшості випадків ефективність ваших ставок буде значно нижчою очікуваних показників, отже, буде існувати і ризик втрати грошей.