Математические ставки. Подсчет количества данных для прогноза

Настало время практического примера. Посмотрим, хватит ли нам данных для того, чтобы с точностью до одного гола подсчитать, сколько мячей «Рубин» забивает у себя дома. В этом сезоне дома были сыграны матчи со следующими результатами, в обратном хронологическом порядке:

1:2, 2:1, 1:1, 0:1, 6:0, 1:0, 0:1

Подсчеты производим с помощью бесплатного статистического пакета R.

> x <- c(1,2,1,0,6,1,0) #забитые мячи Рубина в этом сезоне;
> mean(x) #среднее значение
[1] 1.571429
> sd(x)a #стандартное отклонение
[1] 2.070197
n = (1.96*sd(x))^2
> n
[1] 16.464

Формально мы решили следующую задачу: определили необходимое количество данных для оценки среднего значения с точностью 1 гол и достоверностью 95%. Так как мы считаем отклонения в обе стороны от среднего, то в правой и левой критических областях остаток должен быть равен 2,5% для того, чтобы их сумма дала 5% Это и происходит при z_α/2, равном 1,96.

В самой первой строке мы создаем вектор, содержащий забитые мячи «Рубина» в этом сезоне. Второй строкой считаем среднее значение, в четвертой — стандартное отклонение. Затем подставляем все в нашу первую формулу. Готово!

Для того, чтобы среднее значение не отклонялось больше ,чем на 1 от нашей оценки, требуется 16 замеров. У нас их было лишь 7. Наших данных недостаточно для того, чтобы с достоверностью 95% заявить, что настоящее среднее значение не будет отлично от 1,57 более, чем на 1 гол.

С другой стороны, для «Спартака» данных более чем достаточно — из-за стабильной игры и невероятно низкой σ.

> x <- c(2,2,3,1,2,2) #забитые мячи Спартака в этом сезоне;
> mean(x) #среднее значение
[1] 2
> sd(x) #стандартное отклонение
[1] 0.6324555
> n = (1.96*sd(x))^2
> n
[1] 1.53664

Нужно сделать оговорку, что мы оцениваем не только среднее значение, но и стандартное отклонение — σ. Именно из-за этого такая разница в количестве необходимых замеров. Стандартное отклонение могло быть другим, если бы мы включили матчи прошлого сезона, товарищеские и международные матчи. В практических задачах широкого спектра данная формула несет мало пользы, так как очень редко нам известно стандартное отклонение в то время, когда даже среднее значение мы еще только пытаемся установить. Из-за этого существуют и другие приближенные формулы расчета размера выборки.

Внимательные читатели могут возразить, что число забитых мячей в футбольном матче распределено согласно формуле Пуассона, а не Гаусса. Зачем же мы тогда применяем формулу закона нормального распределения? Все дело в Центральной Предельной Теореме, согласно которой среднее значение стремится к нормальному распределению, даже если популяция, из которой берется наша выборка, имеет иной закон распределения.

Центральная предельная теорема

Одна формула хорошо, а две лучше

В связи с вышеназванными критическими замечаниями есть смысл вооружиться еще одной, менее строгой, но также полезной формулой подсчета количества необходимых данных. Она гораздо проще и не требует спекуляций насчет стандартного отклонения.

n = 4/(√θ0 - √θ1)2,

где θ0 и θ1 — предполагаемые значения среднего, которое необходимо проверить.

Если с помощью этой формулы мы захотим сравнить две гипотезы о том, что среднее число μ забитых или пропущенных мячей равно 2 и 1,5, то нам понадобится 111 замеров. На практике это означает, что такой точности нам не добиться.

n = 4/(√2 - √1.5)2 = 111