Математические ставки. Сколько надо данных для прогноза на спорт?

Тут нужен некоторый минимум статистической терминологии, чтобы не запутаться:

• популяция – множество всех объектов, среди которых проводится исследования;
• выборка – подмножество, часть объектов из всей популяции, которая непосредственно участвует в исследовании;
• репрезентативная выборка – та выборка, которая должным образом обобщает популяцию.

Чаще всего статистический анализ представляет собой процесс в три этапа:

1. Из всей популяции берется выборка объектов. Этот этап исключительно важен. Выборка должна быть не абы какая, а репрезентативная.
2. На базе этой выборки строят модели на основе известных законов распределения случайных величин.
3. Выводы предыдущего этапа обобщаются на всю популяцию.

Классический случай такого анализа — социологический опрос. Всех граждан страны опрашивать каждый раз слишком накладно, да и незачем. Поэтому в социологическом опросе обычно принимает участие несколько сот или несколько тысяч человек. Обработать данные не составляет особого труда. Сложнее построить репрезентативную выборку, охватив все слои и группы населения.

Есть более предметный пример, но также связанный с голосованием. Если мы используем коллективный разум через онлайн-голосование на ВК-страничке сайта, то очень скоро набирается требуемое количество голосов. Однако возникают вопросы к репрезентативности данной выборки: некоторые группы болельщиков могут в ней отсутствовать.

В другом случае, если требуется сделать прогноз на основе футбольной статистики забитых и пропущенных мячей, у нас нет претензий к качеству выборки, только к размеру. Особенно когда дело касается таких турниров, как ЧМ по футболу или Кубок Конфедераций. Выборки как таковой не было для матча Россия — Новая Зеландия и некоторых других.

В остальных случаях футбольную выборку делаем так, чтобы туда попали все матчи, в которых команда не сильно отличается от текущей. Для этого нежелательно копать на глубину более двух сезонов. В противном случае выборка не будет отвечать реалиям сегодняшнего дня. Это подходит одинаково хорошо как для клубных турниров, так и для сезонов сборной страны. Естественно, что клубы успевают за сезон провести большее количество игр. Из-за этого выборка по клубам получается неплохо, особенно к концу игрового сезона.

Итак, худо-бедно выборка у нас есть. И теперь самое время сформулировать к ней вопрос.

Таблица 1

Например, такой: правда ли, что математическое ожидание μ = 1 для турнира? Это выдуманный пример, все совпадения с чем угодно случайны. Такая формулировка называется гипотезой. Но как мы знаем, одна-единственная гипотеза туманит мозг, поэтому есть и альтернативная гипотеза: μ > 1.

H₀: μ = 1

H₁: μ > 1

Внимательные читатели уже наверняка заметили в таблице знакомые контуры распределения Пуассона. На помощь призываем Лемму Неймана-Пирсона, откуда берем формулу соотношения функций правдоподобия. Пропуская нудные подробности, после недолгих манипуляций с экспонентами и логарифмами получаем критерий приема и отбраковки нулевой гипотезы H_0:

∑Xi ≥ C

Что дальше?